Question

求f(x)=log1/2(x2-2x-3)的定义域和值域单调区间

Answer 1

定义域:{x∣x<-1或x>3};值域R;
单调增区间为:（-∞，-1），单调减区间为（3，+∞）。
决定过程如下：
1),求定义域：
∵x2-2x-3>0
∴(x+1)(x-3)>0
∴x<-1或x>3
故定义域为：{x∣x<-1或x>3}
2),求值域：
∵y=x2-2x-3开口向上，△=（-2）²-4x1x(-3)=16>0
∴所求值域：R
3),求单调区间:

内层函数u=x2-2x-3开口向上，对称轴：x=1
∴在（-∞，-1）单减，在（3，+∞）单增。
外层函数y=log(1/2)u为减函数。
由复合函数的性质得：所求单调增区间为（-∞，-1），单调减区间为（3，+∞）。

Answer 2

记g(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1)
f(x)=log1/2g(x)
定义域为g(x)>0, 即x>3, 或x<-1
g(x)为抛物线，开口向上，对称轴为x=1
f(x)的底为1/2<1
因此当x>3时， g(x)单调增，f(x)单调减；
当x<-1时， g(x)单调减，f(x)单调增。
f(x)的值域为R.