Question

数学：已知fx=|x-a|+1/x(x>0)若fx≥1/2恒成立，则a的取值范围是？

Answer 1

讨论绝对值：
1、a<=0时，x-a>0,f(x)=x+1/x-a>=2-a
当且仅当x=1时有最小值2-a.
2、0<a<1时，若0<x<a，f(x)=a-x+1/x单调递减，f(x)>f(a)=1/a
若x>=a,f(x)=x+1/x-a>=2-a
即0<a<1时的最小值是1/a和2-a的较小的2-a
3、1<=a<=2时，若0<x<a,f(x)=a-x+1/x单调递减,f(x)>f(a)=1/a
若x>=a,f(x)=x+1/x-a，a比1大，则f(x)内单调递增，f(x)<=f(a)=1/a
所以综上所述，a的取值范围是（-无穷，2]。

追问

为什么我这样写是错的呢？

追答

这样写是对的

追问

哦谢谢啦

追答

这叫分离参数法

追问

我知道这个方法是对的，但是我不知道为什么这样写下去就是错的。。。min算出来是3/2，max算不出来

追答

等一等，双勾函数没有最值

追问

min用的基本不等式

追答

你默认x大于0了啊

追问

题目中说x>0

追答

哦，那么第二个没有最大值

追问

好吧

追答

祝你学习进步

追问

么么哒谢谢

追答

有问题可以求助

追问

这些会关注你的

追答

嗯嗯

Answer 2

本题正确思路是求f(x)的最小值
通过讨论去掉绝对值
1.a<=0时，x-a>0,f(x)=x+1/x-a>=2-a
当且仅当x=1时有最小值2-a.
2.0<a<1时，若0<x<a，f(x)=a-x+1/x单调递减，f(x)>f(a)=1/a
若x>=a,f(x)=x+1/x-a>=2-a
也就是0<a<1时的最小值是1/a和2-a的较小的2-a
3.1<=a<=2时，若0<x<a,f(x)=a-x+1/x单调递减,f(x)>f(a)=1/a
若x>=a,f(x)=x+1/x-a，a比1大，说明f(x)内单调递增，f(x)<=f(a)=1/a
最终得到a≤2

或者画图的方法：

|x－a|＋1/x≥1/2,即1/x≥(1/2)－|x－a|.分别作出函数g(x)=1/x及f(x)=(1/2)－|x－a|的图像,此不等式就表示对第一象限内的所有x,函数g(x)都要在函数f(x)的图像的上方.分析图像,有a≤2

追问

为什么我这样写是错的呢？

追答

a的取值范围不能带X的。a是常数，不是关于x的函数。

追问

可是这题我就是这样做的，是对的呀？

追答

搞不懂了。一般取值范围应该是和x无关系的。否则就成了a也是x的函数，这个很难说明情况的。

追问

那你能说说你是怎么拆绝对值的吗？a≦0,0<a<1,1≦a≦2是怎么分的？也就这个不懂，其他都看懂了T^T