Question

已知关于x的三次多项式f(x)除以x^2-1,余式是2x-5;除以x^2-4,余式是-3x+4,求这个三次多项式

无

Answer 1

设x的三次多项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
设g(x)=f(x)-(2x-5),由题意，g(x)整除x^2-1
所以g(1)=0,g(-1)=0
设h(x)=f(x)-(-3x+4),同理，h(2)=0,h(-2)=0
联立4式，得
a+b+c+d+3=0
b-a+d-c+7=0
8a+4b+2c+d+2=0
4b-8a-2c+d-10=0
所以a=-5/3,b=3,c=11/3,d=-8

Answer 2

设f(x)=ax³+bx²+cx+d,f(x)=ax(x²-1)+ax+b(x²-1)+b+cx+d
=(ax+b)(x²-1)+(a+c)x+b+d
a+c=2,b+d=-5,
f(x)=ax(x²-4)+4ax+b(x²-4)+4b+cx+d
=(ax+b)(x²-4)+(4a+c)x+4b+d
4a+c=-3,4b+d=4,
a=-5/3,b=3,c=11/3,d=-8
这个三次多项式为-5/3x³+3x²+11/3x-8