Question

在第一类曲线积分和第二类曲线积分相互转化时，切向量的方向如何确定？例如将对弧长的曲线积分转化为对坐

在第一类曲线积分和第二类曲线积分相互转化时，切向量的方向如何确定？例如将对弧长的曲线积分转化为对坐标的曲线积分时，我们要除以对应的方向余弦，那么这个方向余弦的正负如何确定呢？

Answer 1

ds总是正数，dx，dy，可能是负数。并非意义上的转化，仅仅是计算方法的转化。原则上，ds用dx或dy计算，方向余弦与dx或dy的乘积，应该是正数。或者干脆，dx或dy有的|dx|，|dy|。积分方向与ds的积分方向相同。
结合函数的单调性，可以很好地解决符号问题。dx沿着x轴正方向，取正数；dy如果是增函数，正；减函数-。
非单值、非单调函数，可以分段、分上下积分。
如此，直观，不易搞错。

追问

感觉结合图像，定性地定出方向余弦的正负比较好

Answer 2

第二类曲线积分看曲线方向