已知函数f(x)=lnx-a/x,(1)求函数f(x)的单掉增区间;(2)若a=根号e时,求函数f(x)在[1,e]上的最小值。
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解:(1)∵f(x)=lnx-a/x ∴定义域为(0,+∞)
①a=0,f(x)=lnx,(根据函数图象)函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)
②a>0,f'(x)=1/x+a/(x^2),∵x>0,a>0,∴f'(x)>0,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)
③a<0,令f'(x)》0,解得x<-a,∴函数f(x)的单调增区间为(0,-a)
综上所述,当a>=0时 函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)
当a<0时 函数f(x)的单调增区间为(0,-a)
(2)∵根号e>0,所以函数f(x)在[1,e]上为增函数,所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-根号e
自己可以再算一遍,思路就是这样,注意讨论。
①a=0,f(x)=lnx,(根据函数图象)函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)
②a>0,f'(x)=1/x+a/(x^2),∵x>0,a>0,∴f'(x)>0,∴函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)
③a<0,令f'(x)》0,解得x<-a,∴函数f(x)的单调增区间为(0,-a)
综上所述,当a>=0时 函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)
当a<0时 函数f(x)的单调增区间为(0,-a)
(2)∵根号e>0,所以函数f(x)在[1,e]上为增函数,所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-根号e
自己可以再算一遍,思路就是这样,注意讨论。
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(1)f'(x)=(x+a)/x^2 ∴当x≤-a时,f'(x)≤0,x>-a时f'(x)>0 又∵x>0 ∴当a<0时,f(x)的单调增区间为[-a,+∞];当a>0时f(x)的单调增区间为(0,+∞]
(2)当a=√e时,f(x)在(0,+∞]上单调递增,∴当x∈[1,e]时,f(x)的最小值在x=1处取得 f(x)min=-√e
(2)当a=√e时,f(x)在(0,+∞]上单调递增,∴当x∈[1,e]时,f(x)的最小值在x=1处取得 f(x)min=-√e
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同意2L给的答案,我算出来的结果也一样。1L在讨论函数单调性的时候忘记搞清楚它的定义域了,后面的怎么算的没仔细分析。这样的问题讨论还是很有趣的。
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