Question

用正交变换化二次型为标准型，并写出所用的正交变换。 求二次型

谢谢谢谢

Answer 1

首先，A肯定是三阶的不用解释了。条件给了个A的迹等于-6，那就知道了三个特征值的和为-6。
思路一：可以把A设出来，再用关系式求解。这个方法很直白，肯定可以算出来。
思路二：题里给了AB=C，把B和C都拆成两个列向量。
A[1,0,-1]^T=0*[1,0,-1]^T
A[1,2,1]^T=-12*[1,2,1]^T
这么写你明白吧，就是两个特征值，一个0，一个-12，那第三个就是-6-0-(-12)=6。
有了三个特征值，而只有连个特征值对应的特征向量，那第三个肯定和前两个正交。
算一下，可以得到第三个是[1,-1,1]^T，接下来把三个向量单位化拼在一起就是正交变换用的C了。最后x=Cy。
第二题很简单，有了正交矩阵，又有对角矩阵，A=C∧C^T就好了。