Question

高等数学证明数列有界的问题

Answer 1

因为x1=√a，所以a>=0,(1)若a=0，x1,...,xn均为0，故有界。
（2）若a>0,设xn趋近于b(b>0),即xn=b,Xn-1=b,则b=√(a+b），b^2-b-a=0,
b=(1+2√（1+4a)）/2,负数舍去，limb=1/2+√(1+4a),若a趋近于无穷大，则1/a=0，limb=0.5+2=2.5,若a趋近于0，则limb=0.5+1=1.5,故b有界，属于（1.5,2.5）
微积分学有五个最基本的命题，假定其中一个是正确的，其它四个命题就可以予以证明，即只有当把其中一个命题作为公理，其它四个命题就成为定理，微积分学就是在这个基础上演绎出来的。“单调有界数列必有极限”就是这五个命题之一，所以在高等数学里是不证明的。
在不同的数学分析教材里，会选择不同的命题作为公理，有的教材刻意回避说“公理”，会糊里糊涂说出一个让你接受的命题，实际上它是把这作为公理使用的。
很多教材是把“数列若有上界，就一定存在最小上界（上确界）”作为公理的，在这个命题正确的前提下，证明“单调有界数列必有极限”就非常容易了。
下面证明“单调增加的数列若有上界必有极限”：
因为数列{x(n)}有上界，则存在上确界a，对任ε>0，a-ε不是上界，故存在N，使a-εN时，有a-ε∞>x(n)=a。
“单调减少的数列若有下界必有极限”的证明，只要对数列每一项乘以-1，就得到一个“单调增加的数列且有上界”，利用上面的结果就可以得到证明了。
两者综合，就证明了“单调有界数列必有极限”。

Answer 2

采用先猜想后证明的方法:
假设x[n]≤M,则x[n+1]=√(x[n]+a)≤√(M+a)≤M
由此解出:M≥(1+√(1+4a))/2
取M=(1+√(1+4a))/2,则M²=M+a
现在用归纳法证明对于任意x[n]有:x[n]≤M,其中M=(1+√(1+4a))/2
(1)当n=1时,x[1]=√a≤(1+√(1+4a))/2成立
(2)假设n=k时成立,即x[k]≤M
x[k+1]=√(x[k]+a)≤√(M+a)=√M²=M
即当n=k+1时也成立
综合(1)(2)知:x[n]≤(1+√(1+4a))/2
说明:对于证明x[n]有界的问题有时候可以直接用归纳法,有时不能用一般的归纳法,要首先把命题加强.例如:x[n]=1+1/2²+1/3²+...+1/n²,求证:x[n]<5/3
这个就不能用归纳法,因为当n=k+1时,x[k+1]=x[k]+1/(k+1)²<5/3+1/(k+1)²>5/3，无法继续归纳.但若将命题加强为:x[n]<5/3-1/n,则可用归纳法证明.
相比而言,本题是很特殊的.关于加强命题可以参考我的空间:
http://hi.baidu.com/sir_chen

Answer 3

因为x1=√a，所以a>=0,(1)若a=0，x1,...,xn均为0，故有界。
（2）若a>0,设xn趋近于b(b>0),即xn=b,Xn-1=b,则b=√(a+b），b^2-b-a=0,
b=(1+2√（1+4a)）/2,负数舍去，limb=1/2+√(1+4a),若a趋近于无穷大，则1/a=0，limb=0.5+2=2.5,若a趋近于0，则limb=0.5+1=1.5,故b有界，属于（1.5,2.5）