Question

判断两个矩阵是否相似的方法?

我看书上先用 必要条件 看A和B的特征值是否一样 . 假如相等就看A和B是否可以相似对角化.
为什么要看他们是不是都能相似对角化呢 ??

Answer 1

这得从矩阵相似的定义说起。
相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似.　　
从定义出发,最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：　　P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.　　
进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值.　　
再进一步,如果A、B均为实对称矩阵,则它们必可相似对角化,可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）.　
　A、B相似的等价条件还有：　　
A、B均为n阶方阵,则以下命题等价：　
(1)A~B;　　
(2)λE-A≌λE-B　　
(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子
(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子
(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组