Question

xsinx^2积分是什么？

Answer 1

具体如下：

∫x/sinx^2dx=∫2x/(1-cos2x)dx

设tanx=u,x=arctanu,dx=1/(1+u²)du,cos2x=(1-u²)/(1+u²)

原式=2∫arctanu/(2u²/(1+u²))*1/(1+u²)du

=∫arctanu/u²du

=-∫arctanud(1/u)

=-arctanu*1/u+∫1/u d(arctanu)

=-arctanu/u+∫1/u*1/(1+u²) du

=-arctanu/u+∫[1/u-u/(1+u²)] du

=-arctanu/u+∫1/udu-∫u/(1+u²)du

=-arctanu/u+lnu-1/2∫1/(1+u²)du²

=-arctanu/u+lnu-1/2ln(1+u²)

=-x/tanx+ln(tanx)-1/2ln(1+(tanx)²)+C

注意事项：

积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。

比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。