Question

.设A为n阶方阵，且满足AA^T =E和|A|=-1，证明行列式|E+A|=0.

Answer 1

第一个等式是因为(E+A')=E'+A'=(E+A)'

第二个等式是因为一个矩阵的行列式与它的转置的行列式相等。

|A显然是正交矩阵，因此特征值只能有1或-1

又因为|A|=-1，因此特征值肯定有-1（否则的话，所有特征值都是1，其乘积也即行列式|A|=1，而不是-1）

从而A+E必有特征值-1+1=0

则|A+E|=0

扩展资料：

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

参考资料来源：百度百科-行列式