Question

已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,a,b∈R,对于命题“若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”

写出其逆命题，判断真假并证明

Answer 1

逆命题
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b），则a+b≥0
真命题
理由：设a+b<0
那么a<-b,b<-a
则f(a)<f(－b),f(b)<f(－a)
可以得到f(a)+f(b)<f(－a)＋f(－b),和条件f(a)+f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，所以假设不成立，那么a,b满足a+b≥0
即这个命题是真命题

Answer 2

(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,是真命题。
用反证法证明：假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
∵f(x)是（-∞，+∞﹚上的增函数，则f﹙a﹚﹤f﹙-b﹚,f﹙b﹚﹤f﹙-a﹚,
∴f﹙a﹚+f﹙b﹚<f﹙-a﹚+﹙-b﹚,这与题设相矛盾，所以逆命题为真