Question

抽象函数解析式

解法一：
令x=1，y=-1，代入：

f(0)=f(1)=1;

令y=1，代入原式：

f(x+1)=f(x)+2(x+1)（需要注意的是x=0时，这个式子不成立）
移项后：
f(x+1)-f(x)=2x+2

这个显然是个递推式，下面用n代替x进行演绎：
显然
f(2)-f(1)=2*1+2
f(3)-f(2)=2*2+2
…………………
f(n)-f(n-1)=2*(n-1)+2

以上等式分别相加起来

f(n)-f(1)=2*[(n-1)+(n-2)+……+1]+2*(n-1)

将f(1)=1代入，得：

f(n)=n^2+n-1

将n换成x，则得到分段函数：

f(x)=x^2+x-1(x>0)
f(0)=1（x=0）
解法二：
令x=1,
f(y+1)=f(1)+2y(y+1)=2y^2+2y+1
令x=y+1，y=x-1
f(x)=2(x-1)^2+2(x-1)+1
即f(x)=2x^2-2x+1
请高人看一下那个对~~？！
我很迷茫
已知f（x）对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)且f（1）=1求f（x）的解
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Answer 1

原题有误
令x=1 y=-1则f(0)=f(1)
令x=0 y=1则f(1)=f(0)+2

解法一也有错
X为整数时通项公式成立不代表X为实数时也成立

Answer 2

f(y+1)=f(1)+2y(y+1)这步没错
令的是x=1

这题挺有意思 值得研究一下

两个答案都不对！
自己验算一下答案
f(x)=2x^2-2x+1
f(x+y)=f(x)+2y(x+y)=2x^2-2x+1+2xy+2y^2
=2(x+y)^2-2(x+y)+1=2x^2+4xy+2y^2-2x-2y+1

f(x)=x^2+x-1
f(x+y)=f(x)+2y(x+y)=x^2+x-1 +2xy+2y^2
=(x+y)^2+(x+y)-1=x^2+xy+y^2+x+y-1

都不是恒等式！两个答案都有误（好像计算过程没错！）当然解法方面大家自己感觉！是题有问题！

Answer 3

解法2正确,典型的换元求解析式.
解法1得解题过程就是错得,怎么能用自然数来代替实数进行运算呢?你那一串式子求和,你想一想,实数的时候,右边能求和吗?
也就是你忽略了这个函数的定义域,他是全体实数,不是自然数.你在自然数集中得出的函数解析式,能作为实数集上的解析式吗?好好看看函数定义.定义域是函数的灵魂.

Answer 4

解法一

解法二

Answer 5

看了两题的解法均是完全正确的，解法一虽用自然数来代替实数进行运算，推广到实数是可以的，但是两种完全正确的解法却得到了互相矛盾的结论，如何来解释这种现象呢？
实际上这并不奇怪，在数学上我们经常用这种方法来证明一个论断或命题不真。如有一个命题A，该命题为真的情况下推出互相矛盾的命题，或者说命题A蕴含了一个矛盾，则命题A为假，也即命题A蕴含命题B，命题A蕴含命题非B，则命题A为假。逻辑学中有这样一个结论，假命题可导出任意命题。
对于该题的分析，设命题A：存在函数f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+y)，然后我们利用了正确的推导得出了两个互相矛盾的命题，由此可得“存在函数f(x)对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)”是不真的，实际上该函数条件中已明显蕴含了矛盾，已有人看出当x=1，y=-1代入条件式f(x+y)=f(x)+2y(x+ y)得，f(0)=f(1)，再将x=0 y=1代入条件式又得f(1)=f(0)+2，于是得到0=2的结果，这显然得出了错误的结果。题中所给的函数是不存在的，该题的前提已蕴含了矛盾，由此得出两种不同的结果是毫不奇怪的，还有可能，利用正确的推导得到第3种，第4种等等结果。
总之,该题条件矛盾,如果将该题改为这样:证明不存在对任意实数x,y满足条件f(x+y)=f(x)+2y(x+y)的函数,假设该函数存在，由此得出的两种矛盾的结果恰好反证了该函数不存在。