Question

过点P(2,1)，作直线L分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A,B，

，当三角形AOB的面积S最小时，求直线L的方程，并求出s的最小值2当PA*PB取得最小值时，求直线L的方程

Answer 1

1)若│PA│·│PB│取最小值时,求直线L的方程;

当|PA|*|PB|=OP^2时 最小(射影定理) 斜率k(op)=2
故斜率K(ab)=-1/2 又已知直线过（2，1），可得y=-x/2+2

(2)若│OA│·│OB│取最小值时,求直线L的方程.

当|OA|=|OB|时，有最小值，此时b=-b/k,得k=-1b=3
方程为y=-x+3

Answer 2

设l的斜率为k，则点斜式方程为y-1=k(x-2)，即y=kx-2k+1
把y=0代入y=kx-2k+1得点A坐标A(2k-1/k,0)
把x=0代入y=kx-2k+1得点B坐标A(0,1-2k)
所以OA=(2k-1)/k，OB=1-2k
S=OA*OB/2
=(2k-1)(1-2k)/2k
=(-4k^2+4k-1)/2k
=-2k+2-1/2k
因为A,B两点分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴，所以k<0
所以-2k-1/2k≥2根号(-2k*-1/2k)=2
所以-2k+2-1/2k≥4
即S最小值为4，此时-2k=-1/2k，解得k1=1/2（舌掉），k2=-1/2
所以l得方程为y=-1/2x+2