Question

如图,过点P(2,1)作直线l,与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.求:

Answer 1

方法一:
要使三角形AOB的面积最小,则二直角边长就必须为定值,因为直线经过点P(2,1),过点P作平行于X,Y轴的直线,分别交X,Y轴于点E,F,而四边形OEPF为定值,要使三角形AOB的面积最小,则三角形FPB的面积必须最小,则只有二直角边为定值,即FP=2,FB=1,则三角形FPB的面积最小,就有三角形FPB的面积=三角形EPA的面积,
那么直线L的方程为Y=-1/2X+2,
方法二:因为直线过点P(2,1),是属于直线系方程,即有m条直线必经过此点.
则此条直线方程可设为:Y-1=m(x-2),即直线必过定点P(2,1).
当X=0时,Y=1-2m,(m<0)
当Y=0,X=2-1/m=(2m-1)/m.
S三角形AOB的面积=1/2*(1-2m)*(2m-1)/m
=-1/2(4m^2-4m+1)/m
=2-1/2(4m+1/m),
要使S最小,4m+1/m就必须最大,
因为m<0,则-m>0,就有
(-4m)+(-1/m)≥2*√[(-4m)*(-1/m)]=2*2=4,当且仅当(-4m)=(-1/m)时,取等号,即-4m=-1/m,|m|=1/2,(m<0),
m=-1/2.
则直线L的方程为Y=-1/2X+2.

Answer 2

解法1.设此直线方程为x/a
y/b=1，（a，b都是正数）
直线过p(2,1)，2/a
1/b=1，得b=a/（a-2），a≠2，
设t=│oa││ob│=a*b=a*a/（a-2），即t=a²/（a-2），
因为a≠2，所以a²-ta
2t=0，a是实数，
⊿=t²-8t≥0，因为t＞0，可得s≥8.
即t的最小值是8，
此时有a=4，b=2，
直线l方程为x/4
y/2=1，即x
2y-4=0.
解法2.设此直线方程为
y-1=k(x-2），k＜0.
得a（（2k-1）/k，0），b（0，-（2k-1）），
t=│oa││ob│=|
（2k-1）/k*【-（2k-1）】|
=|
（4k²
1-4k）/k|
=|
4k
1/k-4|，
因为k＜0，-4k-1/k＞0，
由均值不等式，-4k-1/k≥2√（-4k）（-1/k）=4，
4k
/k-4≤
-8，t≤
|-8|=8，
当且仅当-4k=-1/k，即k=-1/2
（k＜0）时t有最小值8.
故直线方程为
y-1=-1/2(x-2），
即x
2y-4=0.