Question

如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交AD边与F，分别连

已知，如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交AD边与F，分别连结AF和CE
（1）求证：四边形AFCE是菱形
（2）若AE=10cm,△ABF的面积为24平方厘米,求△ABF的周长
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE平方=ACxAP?
若存在，请说明点P的位置，幷予证明，若不存在，请说明理由。

Answer 1

：（1）连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF．
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，
由作法，∠AEP=90°，
由（1）知：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴AEAP=AOAE，则AE2=AO•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO=12AC，
∴AE2=12AC•AP．
∴2AE2=AC•AP．

（3）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=8．
设AB=x，BF=y，
∵∠B=90，即三角形ABC为直角三角形，
∴x2+y2=64，
∴（x+y）2-2xy=64①，
又∵S△ABF=9，∴12xy=9，则xy=18②，
由①、②得：（x+y）2=100，
∴x+y=10，x+y=-10（不合题意舍去），
∴△ABF的周长为x+y+AF=10+8=18．点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，有一定的拔高难度，属于难题．