Question

关于函数求极限的问题

在解极限问题是遇到了麻烦，以前没有仔细思考过
比如在x趋近于0时候，cosx有时在式中不能直接得1，（limx→0 1/sinx -1/xcosx)或者x趋近于无穷时e^(1/x)也不能直接得1，而有的时候又不得不直接得出，计算才能继续。
到底什么情况下部分式子极限可直接得数，什么情况下需要保持原来形式参与变换？

Answer 1

一般情况下只要极限存在的情况下就可以直接得出
但是有些情况下会得出无穷+-无穷，无穷/无穷，0/0这样的情况，这个时候就不能直接得到，一般需要通过洛必达法则来处理

Answer 2

这是标准的泰勒问题，你可能还没有学过泰勒公式吧？每一个函数都可以看看网上关于泰勒公式的知识，不过可以先告诉你几个常用的泰勒公式
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...+(-1)^(m-1) * x^(2m-1)/(2m-1)!+R
(R在这里指误差,是比R前面一项的高阶无穷小）
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...+(-1)^m * x^2m/(2m)!+R
e^x=1+x+x^2/2+...+x^n/n!+R
但是将直接将1/x带入了上面的e^x是不对的，那个还需要进行进一步的计算。
你问什么情况下可以直接用得数带，我来告诉你，可以这么说，在加减法的时候不能带，但是在乘除法的时候是可以的，说了这么多不知道你明白了多少，实在不行你上网查泰勒公式就知道了

Answer 3

当某一项中只含有cosx时，就可以直接得数，而当某一项中除了cosx还有其他关于x的函数时，就不要忙着得数

Answer 4

当你直接所得极限数值代入原式中时与数学计算规则矛盾时就不能直接得出，比如limX→90度 1/（sinX-1)就不能直接得出。

Answer 5

你taylor展开cosx
cosx在0点的taylor展开是1-1/2*x^2+1/4!*x^4+o(x^6)
e^1/x在0点taylor展开为1+1/x+1/2(1/x)^2+1/3(1/x)^3+o[(1/x)^4]
类似的题的本质是taylor展开后的等阶数相除
把握好这点以后类似的题就迎刃而解了