Question

已知f(x)=a的x次方+a的（-x)次方证明函数的图像关于Y轴对称

（2）判断f(x)在（0，正无穷）上的单调性并用定义加以证明
（3）当X属于[-2,-1]时函数f(x)的最大值为5/2求此时a的值

Answer 1

楼主，a的范围呢？应该是 a>0吧？
(1)因为定义域是R
而f(-x)=a^(-x)+a^x=f(x)
函数是偶函数 ，图像关于Y轴对称
（2）令x2>x1>0
f(x2)-f(x1)=a^x2-a^x1+a^(-x2)-a^(-x1)=a^x2-a^x1+(a^x1-ax^2)/a^(x1+x2)
=(a^x2-a^x1)(1-1/a^(x1+x2))
因为 x2>x1>0 当a>1的时候 a^x2-a^x1>0 a^(x1+x2)>1 所以1-1/a^(x1+x2)
>0 所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)是增函数 当 0<a<1 的时候 a^x2-a^x1<0 而0<a^(x1+x2)<1
所以1-1/a^(x1+x2)<0 同样f(x2)-f(x1)>0 所以f(x)是增函数
综上 f(x)在(0,正无穷）是增函数
(3) 因为函数是偶函数，图像关于y轴对称，所以函数在（负无穷，0）是减函数
所以在区间[-2,-1] 上的最大值应该是f(-2)=a^2+1/a^2=5/2
2a^4-5a^2+2=0 a^2=1/2 或 a^2=2 a=√2 或 a=√2/2

Answer 2

楼主，a的范围呢？应该是
a>0吧？
(1)因为定义域是R
而f(-x)=a^(-x)+a^x=f(x)
函数是偶函数
，图像关于Y轴对称
（2）令x2>x1>0
f(x2)-f(x1)=a^x2-a^x1+a^(-x2)-a^(-x1)=a^x2-a^x1+(a^x1-ax^2)/a^(x1+x2)
=(a^x2-a^x1)(1-1/a^(x1+x2))
因为
x2>x1>0
当a>1的时候
a^x2-a^x1>0
a^(x1+x2)>1
所以1-1/a^(x1+x2)
>0
所以f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)是增函数
当
0<a<1
的时候
a^x2-a^x1<0
而0<a^(x1+x2)<1
所以1-1/a^(x1+x2)<0
同样f(x2)-f(x1)>0
所以f(x)是增函数
综上
f(x)在(0,正无穷）是增函数
(3)
因为函数是偶函数，图像关于y轴对称，所以函数在（负无穷，0）是减函数
所以在区间[-2,-1]
上的最大值应该是f(-2)=a^2+1/a^2=5/2
2a^4-5a^2+2=0
a^2=1/2
或
a^2=2
a=√2
或
a=√2/2