Question

一道关于极限的证明题

设f(x)在[a,+∞]上增加且有上界，证明数列极限limf(n)存在
x->+∞

Answer 1

因为f(x)在[a,+∞]上增加且有上界，
所以f(x)在[a,+∞]上有上确界，记为b.
下面我们将证明数列极限limf(n)=b
用定义证：
因为b是f(x)在[a,+∞]上确界，
所以任意x>=a,f(x)<=b;
并且对于任意的e>0,存在M>0,使得f(M)>b-e
因为f(x)为增函数，
所以当x>=M时，f(x)>b-e
因此对于任意的e>0,存在整数[M]+1,使得当n>[M]+1,b-e<f(n)<=b<b+e
所以
数列极限limf(n)存在