Question

高考数学问题:双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点为F1,F2

1,双曲线x^2/9-y^2/16=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为______16/5________

2,椭圆x^2+4y^2=4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是____16/25___________

3,已知A(0,5),动线段BC在x轴上运动,且长度为6,则三角形ABC外心M的轨迹方程是____x^2=10(y-(8/5))______

最好解析一下

Answer 1

1
解： ∵x^2/9-y^2/16=1
∴a=3 b=4 c=5 F1（-5，0）。F2（5，0）
P（x1，y1） y1既为点P到x轴的距离。
∵PF1⊥PF2
∴│PF1│＾2 +│PF2│＾2 =│F1F2│＾2 =4c＾2 =100
│PF1│-│PF2│=2a=6
∴（│PF1│-│PF2│）＾2 +2│PF1││PF2│=100
即 (2a)^2+2│PF1││PF2│=100 ;
则 │PF1││PF2│=32.
又三角形PF1F2面积
S=（1/2）×│F1F2│×│y1│=（1/2）│PF1││PF2│=16
所以|y|=│PF1││PF2│/│F1F2│=16/5.

2
x^2/4+y^2=1;
不妨设椭圆上的一点A(2,0)
等腰直角三角形则三角形关于x轴对称
所以腰和x轴夹角是45
所以一条腰是y=tan45(x-2)=x-2
代入
5x^2-16x+12=0
(x-2)(5x-6)=0
x=2就是A
所以x=6/5,y=x-2=-4/5
所以另一个顶点是B(6/5,4/5)
则直角边AB^2=(2-6/5)^2+(0-4/5)^2=32/25
所以面积=AB^2/2=16/25

3
设外心M的坐标为(x,y);由题意得:BC中点为(x,0);设外径为R;
由勾股定理得: R^2=3^2 + y^2;
则:由题意,|MA|=|MB|=|MC|;
则 |MA|^2 =|MB|^2 =R^2;
则 R^2=(0-x)^2 + (5-y)^2 = 3^2 + y^2;
整理得: x^2 -10y +16=0;
《即x^2=10(y-(8/5)》

Answer 2

第一题：设点P的坐标为（x，y）,双曲线的焦点坐标为（±5，0）
则有（x+5)^2+y^2+(x-5)^2+y^2=100
x^2/9-y^2/16=1
解方程组得：y=±16/5
所以距离为16/5

第二题这道题比较简单点的做法是，设三角形的另外两个顶点坐标，设其中之一的坐标为（x，y）,而另一顶点坐标与此坐标关于x轴对称，所以其坐标为（x，-y）
∴则有x^2+4y^2=4
[y/(x-2)]*[-y/(x-2)]=-1 (取椭圆长轴顶点为（2，0），等边直角三角形的两边互相垂直，过两边的直线的斜率乘积为-1)
解之得：x=2或6/5 y=0或4/5
所以面积为（2-6/5）（2*4/5）/2=16/25

第三题设外心的坐标为（x，y）
根据外心的性质可得：x^2+(y-5)^2=r^2 (r为外接圆半径)
∵动线段BC在x轴上运动
∴外心M到BC的距离为y的绝对值
所以则有：y^2+9=r^2
所以：x^2+(y-5)^2=y^2+9
三角形ABC外心M的轨迹方程是 x^2-10y+16=0