Question

已知函数f(x)=a(x-1)/x^2,其中a>0 ，1、求函数f(x)的单调区间；2、若x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线求a ；

已知函数f(x)=a(x-1)/x^2,其中a>0 ，1、求函数f(x)的单调区间；2、若x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线求a ；3、设g(x)=xlnx-x^2f(x),求g(x)在[1,e]上的最值。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为函数f（x）= a(x�6�11)x2，
∴f′（x）= [a(x�6�11)]′�6�1x2�6�1(x2)′a(x�6�11)x4= a(2�6�1x)x3，f′（x）＞0�6�00＜x＜2，
f′（x）＜0�6�0x＜0，或x＞2，
故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．
（Ⅱ）设切点为（x，y），
由切线斜率k=1= a(2�6�1x)x3，�6�0x3=-ax+2a，①
由x-y-1=x- a(x�6�11)x2-1=0�6�0（x2-a）（x-1）=0�6�0x=1，x=± a．
把x=1代入①得a=1，
把x= a代入①得a=1，
把x=- a代入①得a=-1（舍去），．
故所求实数a的值为1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=ea-1，
故g（x）在区间（ea-1，+∞）上递增，在区间（0，ea-1）上递减，
①当ea-1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；
②当1＜ea-1＜e时，即0＜a＜2时，g（x）的最大值为g（ea-1）=a-ea-1；
③当ea-1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a-ae．