Question

△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，垂足为E.试猜测CE与BD的数量关系，并说明理由

Answer 1

【BD=2CE】

证明：

延长CE交BA延长线于F

∵CE⊥BD

∴∠BEC=∠BEF=90°

∵BD平分∠ABC

∴∠FBE=∠CBE

又∵BE=BE

∴△FBE≌△CBE（ASA）

∴EF=CE

∵∠BAC=90°

∴∠ABD+∠ADB=90°

∵∠ABD+∠F=90°

∴∠ADB=∠F

又∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC

∴△BAD≌△CAF（AAS）

∴BD=CF=CE+EF=2CE

Answer 2

证明：延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE