Question

急：：一道高一数学指数函数的题....

1、(注：该题中的x为上标)要使函数y=4 x a+2 x +1在x属于（负无穷，1）上y>0恒成立，求a的取值范围
2、（注：该题中的x-1/2和x都是上标）设函数f(x)=4 x-1/2 -3*2 x +5(0<=x<=2),求f(x)的最大值和最小值

真是不好意思上标敲不进去，拜托把过程简单写一下，多多麻烦各位高手帮帮忙，太感谢了。。。

Answer 1

y=1+2^x+a*4^x
=1+2^x+a*2^2x
=1+2^x+a*(2^x)^2
所以，设2^x=t 因为x∈（—∞，1] 所以 t∈（0，2]
则既要求 y=1+t+a*t^2 在t∈（0，2] 时 y＞0.
又因为 y=a*t^2 +t+1 的对称轴为 t0=-1/2a
1，若 a>0 即 对称轴为 t0=-1/2a < 0
则 y=1+t+a*t^2 在t∈（0，2]为单调增函数
只需y=f（t），在t=0处 > 0 即可。
所以a>0；且 1+0+a*0^2 >0 恒成立
故 a>0 时原函数在x∈（—∞，1]上y＞0恒成立。
2，若 a=0 则原函数为 y=1+2^x ＞0 恒成立.
3,若a<0 观察y=f（t）图像
则要求y=f（t），在t=0，t=2 时同时大于0方可满足要求。
即：1+0+a*0^2 >0 -----恒成立
且：1+2+a*2^2=3+4a >0 即 0>a>-3/4

综上 a>-3/4

y=4^(x-1/2)-3.2^(x)+5
=1/2[(2^X)]^2-3*2^X+5.
令,2^X=t,t的取值范围是[1,4],则有
Y=1/2t^2-3t+5,此函数是个开口向上的抛物线,对称轴坐标是:t=3,t属于[1,4]的中轴是t=(4-1)/2=3/2.
对称轴的左边是递减,右边是递增,
Y的最大值,只有当t=1时,Y最大=5/2.
Y的最小值,只有当t=3时,Y最小=1/2.

Answer 2

1.要使函数y=1+2^x+4^xa在x属于(负无穷大,1]上y>0恒成立求a的取值范围
很明显a>=0时成立
当a<0时,由于x∈（-∞，1]所以0<=2^x<=2
y=a(2^x+1/2a)^2+1-1/4a>0
(2^x+1/2a)^2<1/4a^2-1/a
当x=1时(2^x+1/2a)^2得最大值，于是1/4a^2-1/a>(2+1/2a)^2
求得-3/4<a<0
所以a>-3/4
2.设0≤x≤2，求函数y=4^(x-1/2)-3.2^(x)+5 的最大值和最小值.

y=4^(x-1/2)-3.2^(x)+5
=1/2[(2^X)]^2-3*2^X+5.
令,2^X=t,t的取值范围是[1,4],则有
Y=1/2t^2-3t+5,此函数是个开口向上的抛物线,对称轴坐标是:t=3,t属于[1,4]的中轴是t=(4-1)/2=3/2.
对称轴的左边是递减,右边是递增,
Y的最大值,只有当t=1时,Y最大=5/2.
Y的最小值,只有当t=3时,Y最小=1/2.

Answer 3

1 y=4 x a+2 x +1=a(2^x)^2+2^x+1 因为x属于（负无穷，1） 所以2^x属于（0，2） 这里可以把2^x看作一个整体 替换为k 则y=ak^2+k+1 k属于（0，2） 而要求y>0恒成立 对称轴为-1/2a
若a>0 -1/2a<0 则对称轴必在（0，2）区间的左边 很显然在（0，2）区间函数单增 只需满足当k=0时 y>0即可 而1>0恒成立 此情况a>0
若a=0 y=k+1 在（0，2）内恒大于0
若a<0 -1/2a>0 分2种情况
当0<-1/2a<=2时 即a<=-1/4 满足满足k=2时函数大于0即可 4a+2+1>0 a>-3/4 则-3/4<a<=-1/4
当-1/2a>2时 即0>a>-1/4 只需满足k=2时函数大于0 4a+2+1>0 a>-3/4 此情况a的范围为 -1/4<a<0
所以综上所述 a的范围为（-3/4，正无穷）

2 f(x)=4 x-1/2 -3*2 x +5=1/2*(2^x)^2-3*2^x +5 而0<=x<=2 则2^x属于[1，4] 这里可以把2^x看作一个整体 替换为k 则f(k)=1/2*k^2-3k+5
对称轴为k=3 而k的定义域范围为[1，4]
所以最小值为当k=3时 最小值为1/2
最大值为当k=1时 最大值为5/2