Question

直线 ax ＋ by ＝1与圆 x 2 ＋ y 2 ＝1相交于 A ， B 两点(其中 a ， b 是实数)，且△ AOB 是直角三

直线 ax ＋ by ＝1与圆 x 2 ＋ y 2 ＝1相交于 A ， B 两点(其中 a ， b 是实数)，且△ AOB 是直角三角形( O 是坐标原点)，则点 P ( a ， b )与点(0,1)之间距离的最小值为(　　)． A．0 B． C． －1 D． ＋1





Answer 1

C

根据题意画出图形，如图所示， 过点 O 作 OC ⊥ AB 于 C ，因为△ AOB 为等腰直角三角形，所以 C 为弦 AB 的中点，又| OA |＝| OB |＝1，根据勾股定理得| AB |＝ ，∴| OC |＝ | AB |＝ .∴圆心到直线的距离为 ＝ ，即2 a 2 ＋ b 2 ＝2，即 a 2 ＝－ b 2 ＋1≥0. ∴－ ≤ b ≤ .则点 P ( a ， b )与点(0,1)之间距离 d ＝ ＝ ＝ . 设 f ( b )＝ b 2 －2 b ＋2＝ ( b －2) 2 ，此函数为对称轴为 x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－ ≤ b ≤ <2时，函数为减函数．∵ f ( )＝3－2 ，∴ d 的最小值为 ＝ ＝ －1.故C正确