设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=2,f(1)=0.求证:存在0<η<ξ<1,使得f′(

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=2,f(1)=0.求证:存在0<η<ξ<1,使得f′(η)f′(ξ)=4.... 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=2,f(1)=0.求证:存在0<η<ξ<1,使得f′(η)f′(ξ)=4. 展开
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花闲纸0b0
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知道答主
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证明:由于g(x)=f(x)-2x在[0,1]上连续,且g(0)=2,g(1)=-2,
故由有界闭区间上连续函数的性质可知存在ξ∈(0,1),使得g(ξ)=0,即f(ξ)=2ξ成立,
对此ξ,分别在区间[0,ξ]与[ξ,1]上对f(x)用拉格朗日中值定理知,
存在η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得:
f′(η)=
f(ξ)?f(0)
ξ?0
2ξ?2
ξ
=2
ξ?1
ξ
f′(ζ)=
f(1)?f(ξ)
1?ξ
?2ξ
1?ξ
=2
ξ
ξ?1

即存在0<η<ζ<1,使得:
f′(η)f′(ξ)=
2(ξ?1)
ξ
?
ξ?1
=4
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