Question

如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分别为AD、BC的中点，请说明EF=12（BC-AD）的理由

如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，E、F分别为AD、BC的中点，请说明EF=12（BC-AD）的理由．

Answer 1

证明：过点E作AB、CD的平行线，与BC分别交于G，H，
可得∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠EGH+∠EHG=90°，
∴∠GEH=90°，即△EGH为直角三角形，
∵AE∥BG，EG∥AB，ED∥HC，EH∥DC，
∴四边形ABGE和四边形CDEH都是平行四边形，
∴BG=AE，CH=ED，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=BG=HC=ED，
∴FB-BG=FC-HC，即FG=FH，
在Rt△EGH中，F为斜边GH的中点，
∴EF=

1

2

GH，
又GH=BC-（BG+CH）=BC-（AE+ED）=BC-AD，
则EF=

1

2

（BC-AD）．