设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)当a=2时,求曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程(2)如果对任

设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)当a=2时,求曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程(2)如果对任意的s,t∈[12,2],恒有f(s)... 设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)当a=2时,求曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程(2)如果对任意的s,t∈[12,2],恒有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围. 展开
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(1)当a=2时,y=f(x)+g(x)=
2
x
+xlnx+x3-x2-3,
y′=-
2
x2
+lnx+1+3x2-2x,
x=1时,y=2+1-1-3=-1,y′=-2+1+3-2=0,
∴曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程为:y+1=0.
(2)∵g(x)=x3-x2-3,∴g′(x)=3x2-2x,
x∈(0,
2
3
)时,g′(x)<0,
又g(
1
2
)=-
25
8
g(
2
3
)
=-
85
27
,g(2)=1,
∴g(x)max=g(2)=1.
当a≥1时,且x∈[
1
2
,2
],f(x)=
a
x
+xlnx≥
1
x
+xlnx

设h(x)=
1
x
+xlnx
h(x)=?
1
x2
+lnx+1
,h′(1)=0,
当x∈[
1
2
,1],h′(x)<0,
∴h(x)=
1
x
+xlnx
在[
1
2
,1]上递减,在(1,2]上递增,
∴h(x)min=h(1)=1,即h(x)≥1,
即当a≥1时,且x∈[
1
2
,2
],f(x)≥1成立,
∴f(x)≥g(2),∴f(x)≥g(x),
∴当a≥1时,对任意的s,t∈[
1
2
,2],恒有f(s)≥g(t)成立.
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