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设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)当a=2时,求曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程(2)如果对任
设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)当a=2时,求曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程(2)如果对任意的s,t∈[12,2],恒有f(s)...
设f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3(1)当a=2时,求曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程(2)如果对任意的s,t∈[12,2],恒有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.
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1个回答
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(1)当a=2时,y=f(x)+g(x)=
+xlnx+x3-x2-3,
y′=-
+lnx+1+3x2-2x,
x=1时,y=2+1-1-3=-1,y′=-2+1+3-2=0,
∴曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程为:y+1=0.
(2)∵g(x)=x3-x2-3,∴g′(x)=3x2-2x,
x∈(0,
)时,g′(x)<0,
又g(
)=-
,g(
)=-
,g(2)=1,
∴g(x)max=g(2)=1.
当a≥1时,且x∈[
,2],f(x)=
+xlnx≥
+xlnx,
设h(x)=
+xlnx,h′(x)=?
+lnx+1,h′(1)=0,
当x∈[
,1],h′(x)<0,
∴h(x)=
+xlnx在[
,1]上递减,在(1,2]上递增,
∴h(x)min=h(1)=1,即h(x)≥1,
即当a≥1时,且x∈[
,2],f(x)≥1成立,
∴f(x)≥g(2),∴f(x)≥g(x),
∴当a≥1时,对任意的s,t∈[
,2],恒有f(s)≥g(t)成立.
2 |
x |
y′=-
2 |
x2 |
x=1时,y=2+1-1-3=-1,y′=-2+1+3-2=0,
∴曲线y=f(x)+g(x)在x=1处的切线方程为:y+1=0.
(2)∵g(x)=x3-x2-3,∴g′(x)=3x2-2x,
x∈(0,
2 |
3 |
又g(
1 |
2 |
25 |
8 |
2 |
3 |
85 |
27 |
∴g(x)max=g(2)=1.
当a≥1时,且x∈[
1 |
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a |
x |
1 |
x |
设h(x)=
1 |
x |
1 |
x2 |
当x∈[
1 |
2 |
∴h(x)=
1 |
x |
1 |
2 |
∴h(x)min=h(1)=1,即h(x)≥1,
即当a≥1时,且x∈[
1 |
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∴f(x)≥g(2),∴f(x)≥g(x),
∴当a≥1时,对任意的s,t∈[
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