Question

已知函数f（x）=x2-2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A?[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）

已知函数f（x）=x2-2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A?[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x2-1|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）若A=?，则△=4a²-4（a+2）=4（a-2）（a+1）＜0?-1＜a＜2，
若A≠?，则

△≥0 0＜a＜3 f(0)≥0 f(3)≥0

?

a≤?1或a≥2 0＜a＜3 a+2≥0 9?6a+a+2≥0

?2≤a≤

11

5

．
综上可得：?1＜a≤

11

5

．
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=

2x2?2ax+a+1，|x|≥1 ?2ax+a+3，|x|＜1

．
若a=0，则g（x）=

2x2+1，|x|≥1 3，|x|＜1

，无零点；
若a≠0，则-2ax+a+3在（0，1）单调，
∴其在（0，1）内至多有一个零点．
①若0＜x₁＜1≤x₂＜3，
则

3(?a+3)＜0 (3?a)(19?5a)≤0

，
解得，3＜a≤

19

5

，
经检验，a=

19

5

时不成立，
②若1≤x₁＜x₂＜3，
由

△＝4a2?8(a+1)＞0 1＜ a 2 ＜3 3?a≥0 19?5a＞0

，
解得，1+

3

＜a≤3，
综上所述，实数a的取值范围是（1+

3

，

19

5

）．