Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4， cosC= 2 3 ．（1）求△ABC的面积

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4， cosC= 2 3 ．（1）求△ABC的面积；（2）求sin（B-C）的值．

Answer 1

（1）在△ABC中， ∵cosC= 2 3 ， ∴sinC= 1- cos 2 C = 1- ( 2 3 ) 2 = 5 3 ．    　　       …（2分） ∴S △ABC = 1 2 absinC=2 5 ．    　　　　　　　　　　 …（5分） （2）由余弦定理可得，c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC=9+16-16=9 ∴c=3．                          …（7分） 又由正弦定理得， c sinC = b sinB ， ∴sinB= b?sinC c = 4× 5 3 3 = 4 5 9 ．            　　　　 …（9分） cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac = 1 9 …（10分） ∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC= 4 5 9 × 2 3 - 1 9 × 5 3 = 7 5 27 ．   …（12分）