Question

已知函数f(x)＝2|x+m?1|x?4，m＞0，满足f（2）=-2，（1）求实数m的值；（2）判断y=f（x）在区间（-∞，m-

已知函数f(x)＝2|x+m?1|x?4，m＞0，满足f（2）=-2，（1）求实数m的值；（2）判断y=f（x）在区间（-∞，m-1]上的单调性，并用单调性定义证明；（3）若关于x的方程f（x）=kx有三个不同实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由f（2）=-2，m＞0?

2|1+m|

?2

＝?2，m＞0，解得m=1．
（2）由（1）可知：m=1，∴f(x)＝

2|x|

x?4

．
因此只研究函数f（x）=

2|x|

x?4

=

2x

4?x

在区间（-∞，0]上的单调性即可．
此函数在区间（-∞，0]上单调递增．
证明：设x₁＜x₂≤0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4?x1

?

2x2

4?x2

=

8(x1?x2)

(4?x1)(4?x2)

，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，4-x₁＞0，4-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在（-∞，0]上单调递增．
（3）原方程即为

2|x|

x?4

＝kx（*）
①当x=0时，方程成立，即x=0是方程（*）的一个实数根；
②当x＜0时，方程（*）?

?2

x?4

＝k，x＜0?x＝4?

2

k

＜0?0＜k＜

1

2

，
即当0＜k＜

1

2

时，方程（*）在区间（-∞，0）有唯一一个实数根，此外无解；
③当x＞0且x≠4时，方程（*）?

2

x?4

＝k，x＞0且x≠4?x=4+

2

k

＞0，解得k＜?

1

2

或k＞0．
∴k∈(?∞，?

1

2

)∪(0，+∞)时，方程（*）在区间（0，+∞）有一个实数根，此外无解．
综上可知：要使原方程有三个不同实数根，当且仅当k满足原方程在（-∞，0）和（0，+∞）
各有一个实数解时才成立，此时，k∈(0，

1

2

)．
∴实数k的取值范围为(0，

1

2

)．