Question

已知函数f（x）=x-kx（k∈R）过点（2，0）（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；（2）讨论

已知函数f（x）=x-kx（k∈R）过点（2，0）（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；（2）讨论关于x的方程|f（x）|=t+54x（t∈R）的正根的个数．

Answer 1

（1）函数f（x）=x-

k

x

（k∈R）图象过点（2，0），
则0=2-

k

2

，解得，k=4．
则当k=4时，函数f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）单调递增．
证明：?x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则f(x1)?f(x2)＝x1?

4

x1

?x2+

4

x2

＝(x1?x2)?

4(x2?x1)

x1x2

＝(x1?x2)(1+

4

x1x2

)，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），∴1+

4

x1x2

＞0．
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0．∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
则函数f（x）在（0，+∞）单调递增；
（2）函数f（x）=x-

4

x

，方程|f（x）|=t+

5

4

x，即|x-

4

x

|=t+

5

4

x，
由于函数f（x）=x-

4

x

在（0，+∞）上单调递增，
f（2）=0，
故当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x＞2时，f（x）＞0．
当0＜x＜2时，方程即

4

x

-x=t+

5

4

x，即 t=

4

x

-

9

4

x，
显然函数t为减函数，故有t＞-

5

2

；
当x≥2时，方程即 x-

4

x

=t+

5

4

x，
即t=-（

x

4

+

4

x

 ）≤-2，
故当t＜?

5

2

或t＞-2时，方程有一正根；
当t＝?

5

2

或t=-2时，方程有二个正根；
当?

5

2

＜t＜?2时，方程有三个正根．