Question

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan3n}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），
两式相减得2（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n-2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
即2a_n=a_n+1-a_n-2ⁿ，则a_n+1=3a_n+2ⁿ，
整理得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），
即{a_n+2ⁿ}是首项为a₁+2=1+2=3，公比q=3的等比数列，
则a_n+2ⁿ=3?3^n-1=3ⁿ，
则a_n=3ⁿ-2ⁿ，即数列数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）∵a_n=3ⁿ-2ⁿ，∴

nan

3n

=

n(3n?2n)

3n

=n（1-（

2

3

）ⁿ）=n-n?（

2

3

）ⁿ，
设数列{n?（

2

3

）ⁿ}的前n项和为S_n，
则S_n=1?（

2

3

）¹+2?（

2

3

）²+…+n?（

2

3

）ⁿ，

2

3

S_n=1?（

2

3

）²+2?（

2

3

）³+…+n?（

2

3

）ⁿ⁺¹，
两式相减得

1

3

S_n=1?（

2

3

）¹+（

2

3

）²+…+（

2

3

）ⁿ-n?（

2

3

）ⁿ⁺¹=

2 3 [1?( 2 3 )n]

1? 2 3

-n?（

2

3

）ⁿ⁺¹
=2-2?（

2

3

）ⁿ-n?（

2

3

）ⁿ⁺¹，
则S_n=6-6?（

2

3

）ⁿ-3n?（

2

3

）ⁿ⁺¹=6-（6+2n）?（

2

3

）ⁿ，
则数列{

nan

3n

}的前n项和T_n=S_n+1+2+…+n=6-（6+2n）?（

2

3

）ⁿ+

n(n+1)

2

．