Question

△ABC中，∠C=3∠A，AB=10，BC=8，则AC的长是______

△ABC中，∠C=3∠A，AB=10，BC=8，则AC的长是______．

Answer 1

∵∠C=3∠A， ∴sinC=sin3A=3sinA-4sin 3 A， 由正弦定理得： AB sinC = BC sinA ， ∴sinC= AB?sinA BC ∴3sinA-4sin 3 A= AB BC sinA， ∵sinA≠0， ∴3-4sin 2 A= 10 8 = 5 4 ， ∴sin 2 A= 7 16 ， ∴sinA= 7 4 ． ∴cosA= 1- sin 2 A = 3 4 ． ∵sinB=sin（A+C）=sin4A=sin2×2A=2sin2Acos2A=4sinAcosA（2cos 2 A-1）=4× 7 4 × 3 4 ×[2×（ 3 4 ） 2 -1]=（ 3 4 ）× 7 × 1 8 ， ∴sinB= 3 7 32 ．再 ∵ AC sinB = BC sinA ， ∴AC= BC?sinB sinA =8× 3 7 32 ÷ 7 4 3， ∴AC=3． 故答案为：3．