Question

若方程 ( 1 4 ) x +( 1 2 ) x-1 +a=0 有正数解，则实数a的取值范围是 _____

若方程 ( 1 4 ) x +( 1 2 ) x-1 +a=0 有正数解，则实数a的取值范围是 ______．

Answer 1

设t= ( 1 2 ) x ，则有： a=-[ ( 1 2 ) 2x + 2( 1 2 ) x ] =-t 2 -2t=-（t+1） 2 +1． 原方程有正数解x＞0，则0＜t= ( 1 2 ) x ＜ ( 1 2 ) 0 =1， 即关于t的方程t 2 +2t+a=0在（0，1）上有实根． 又因为a=-（t+1） 2 +1． 所以当0＜t＜1时有1＜t+1＜2， 即1＜（t+1） 2 ＜4， 即-4＜-（t+1） 2 ＜-1， 即-3＜-（t+1） 2 +1＜0， 即得-3＜a＜0． 故答案为：（-3，0）