Question

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（0+0）=2f（0）， ∴f（0）=0；令y=-x， f（x）+f（-x）=f（0）=0， ∴f（-x）=-f（x）， ∴函数f（x）为R上的奇函数； ∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0， ∴当-3≤x 1 ＜x 2 ≤3时， f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（x 2 ）+f（-x 1 ）=f（x 2 -x 1 ）＞0， ∴f（x 2 ）＞f（x 1 ）， ∴f（x）在[-3，3]上是增函数， 又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2， ∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6， 又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a， ∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）． 故答案为：[6，+∞）．