Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的啦标为（-1，0），点B在抛物线 上，小题1:点Ａ的坐标为__________,点Ｂ的坐标为___________;抛物线的解析式为_________;小题2:在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边向直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由小题3:若点D是(1)中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连结BD、CD。当△BCD的面积最大时，求点D的坐标。 小题4:若点P是(1)中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平形四边形ABPQ。当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

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Answer 1

小题1:Ａ（0，2）,B(-3,1). 小题2:存在点Ｐ（点B除外），使三角形ＡＣＰ是以ＡＣ为直角边的直角三角形    4分 理由如下： 分情况讨论： ①延长ＢＣ交抛物线于点Ｐ，连结ＡＰ 1 因为∠ACB=90°,∴∠ACP=90° 设直线BC的解析式为y=kx+b 将Ｂ(-3,1),C(-1, 0)代入上式得 所以                          5分 联立方程组 解得 （不符合题意舍去） 所以：Ｐ 1 （1，-1）                                         6分 ②过点Ａ作ＡＰ 2 //BC,交抛物线于点Ｐ 2 ，Ｐ 3 设直线ＡＰ 2 的解析式为 ，将 代入得 所以： 联立方程组 解得： 所以：Ｐ 2 （2，1），Ｐ 3 （-4，4） 综上所述：存在点Ｐ 1 （1，-1），Ｐ 2 （2，1），Ｐ 3 （-4，4）（点Ｂ除外），使三角形ＡＣＰ 是以ＡＣ为直角边的直角三角形                               7分 小题3:设点Ｄ的坐标为（m, ）,过点Ｄ作ＤＭ⊥x轴交直线ＢＣ于点Ｍ 所以点Ｍ的坐标为（m， ），ＭＤ＝           8分 再设三角形ＢＣＤ的面积为Ｓ。 Ｓ＝ ＝        9分 因为Ｓ是m的二次函数，且抛物线开口向下，函数有最大值 即当m＝-1时Ｓ有最大值２ 此时点Ｄ的坐标为（-1，-2） 小题4:（1，-1）。（-2，-1）

（1）根据勾股定理求点Ａ的坐标,点Ｂ的坐标，根据点Ｂ的坐标求抛物线的解析式 （２）根据延长ＢＣ交抛物线于点Ｐ，连结ＡＰ 1 ，或者过点Ａ作ＡＰ 2 //BC,交抛物线于点 Ｐ 2 ，Ｐ 3 构成的三角形进行解答 （3）设点Ｄ的坐标为（m, ）,过点Ｄ作ＤＭ⊥x轴交直线ＢＣ于点Ｍ，求得ＭＤ＝ ，三角形ＢＣＤ的面积为 ,再根据二次函数的性质求出点D的坐标 (4)根据平形四边形的性质求出点P的坐标