Question

已知椭圆 x 2 16 + y 2 4 =1 ，求以点P（2，-1）为中点的弦AB所在的直线方

已知椭圆 x 2 16 + y 2 4 =1 ，求以点P（2，-1）为中点的弦AB所在的直线方程．

Answer 1

设弦AB所在的直线方程为y-（-1）=k（x-2），即y=kx-2k-1． 由 y=kx-2k-1 x 2 16 + y 2 4 =1 ，消去y得x 2 +4（kx-2k-1） 2 -16=0， 整理得（1+4k 2 ）x 2 -8k（2k+1）x+4（2k+1） 2 -16=0（1） 设A( x 1 ， y 1 )，B( x 2 ， y 2 )，所以有 x 1 + x 2 = 8k(2k+1) 1+4 k 2 ． 因为P（2，-1）为弦AB中点， 所以 x 1 + x 2 =4，即 8k(2k+1) 1+4 k 2 =4，解得k= 1 2 ． 代入方程（1），验证△＞0，合题意． 所以弦AB所在直线的方程为y= 1 2 x-2，即x-2y-4=0 ．