Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，

GE＝CE AE＝AE

，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；

（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；

（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：
∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．