Question

是否存在这样的实数a，b，使得对于每个正整数n≥2，（1）a+b是有理数，而an+bn是无理数；（2）a+b是无理

是否存在这样的实数a，b，使得对于每个正整数n≥2，（1）a+b是有理数，而an+bn是无理数；（2）a+b是无理数，而an+bn是有理数．

Answer 1

（1）存在．
比如：当a=1-

2

，b=

2

时，
对于每个正整数n≥2，都有a+b=1是有理数，aⁿ+bⁿ=（1-

2

）ⁿ+（

2

）ⁿ都是无理数．
事实上，当a=m+x，b=n-x（其中x是无理数，m、n是有理数，且m+n≠0）时，
对于每个正整数n≥2，都有a+b=m+n是有理数，aⁿ+bⁿ=（m+x）ⁿ+（n-x）ⁿ都是无理数．

（2）不存在．
理由如下：
①实数a、b都是有理数，
此时a+b是有理数，与条件“a+b是无理数”矛盾，故舍去．
②实数a、b中一个是有理数另一个是无理数，
此时a+b是无理数，aⁿ、bⁿ必有一个是有理数另一个是无理数．
所以aⁿ+bⁿ必是无理数，而不是有理数．
③实数a、b都是无理数，
因为a+b是无理数，
所以a与b不可能是互为相反数．
所以aⁿ与bⁿ也不可能互为相反数，即aⁿ+bⁿ≠0．
因为实数a是无理数，
所以aⁿ、aⁿ⁺¹（n≥2）中至少有一个是无理数．
同理：bⁿ、bⁿ⁺¹（n≥2）中至少有一个是无理数．
Ⅰ．若aⁿ、bⁿ都是有理数，
则aⁿ⁺¹、bⁿ⁺¹都是无理数．
因为aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹≠0，
所以aⁿ⁺¹+bⁿ⁺¹是无理数．
Ⅱ．若aⁿ、bⁿ只有一个是有理数，
则aⁿ+bⁿ必是无理数．
Ⅲ．若aⁿ、bⁿ都是无理数，
因为aⁿ+bⁿ≠0，
所以aⁿ+bⁿ必是无理数．
综上所述：不能保证对于每个正整数n≥2，当a+b是无理数时，aⁿ+bⁿ都是有理数．
故符合要求的实数a、b不存在．