Question

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（1）求数列{an}

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，n∈N*，证明：Tn-8=an-1bn+1（n∈N*，n≥2）．

Answer 1

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3＝27 8+6d?2q3＝10

，
解得

d＝3 q＝2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ．
（2）证明：由第一问得：T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ；   ①；
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②．
由①-②得，-T_n=2×2+3×2²+3×2³+…+3×2ⁿ-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=

6×(1?2n)

1?2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹-2
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
即T_n-8=（3n-4）×2ⁿ⁺¹．
而当n≥2时，a_n-1b_n+1=（3n-4）×2ⁿ⁺¹．
∴T_n-8=a_n-1b_n+1（n∈N^*，n≥2）．