Question

已知函数f（x）=a?2x，x≤0log12x，x＞0，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值

已知函数f（x）=a?2x，x≤0log12x，x＞0，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（　　）A．（-∞，0）B．（-∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

解答：解：设t=f（x），则f（t）=0，
若a＜0时，当x≤0，f（x）=a?2^x＜0．
由f（t）=0，即log

1

2

t＝0，此时t=1，
当t=1得f（x）=1，此时x=

1

2

有唯一解，此时满足条件．
若a=0，此时当x≤0，f（x）=a?2^x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件．
若a＞0，当x≤0，f（x）=a?2^x∈（0，a]．
此时f（x）的最大值为a，
要使若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，
则a＜1，此时0＜a＜1，
综上实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1），
故选：B