Question

设函数f（x）=2x，x≤0log2x，x＞0，【若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））

设函数f（x）=2x，x≤0log2x，x＞0，【若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是1414．

Answer 1

根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R
又∵f（x）=2^x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log₂x，（x＞0）时，其值域为R
∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a²y²+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，
必有f（f（x））＞1 （因为2a²y²+ay＞0）
所以：f（x）＞2
解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系
∴2a²y²+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0
所以有：（2ay-1）（ay+1）＞0
解得：y＞

1

2a

或者y＜-

1

a

（舍去）
∴

1

2a

≤2
∴a≥

1

4

故答案为：

1

4