Question

对于函数f(x)＝a?22x+1(a∈R)．（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）是否

对于函数f(x)＝a?22x+1(a∈R)．（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

Answer 1

解答：证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则2x1＜2x2，2x1?2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（a?

2

2x1+1

）-（a?

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数f(x)＝a?

2

2x+1

为奇函数
则f（-x）+f（x）=a?

2

2?x+1

+a?

2

2x+1

=a?

2?2x

2x+1

+a?

2

2x+1

=2a?

2?(2x+1)

2x+1

=2a-2=0
解得a=1
故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数