Question

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．（1）求证：BD⊥AC1；（2

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．（1）求证：BD⊥AC1；（2）若AB=2，AA1=23，求AC1与平面ABC所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BD
又∵AB=BC，D为AC中点，∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁ A₁
∴BD⊥AC₁…（4分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥平面ABC
∴AC₁与平面ABC所成的角为∠C₁AC
∵AB=BC，∠ABC=90°，AB=

2

，∴AC=2
又AA₁=2

3

，∴CC₁=2

3

∴tan∠C₁AC=

CC1

AC

＝

2 3

2

＝

3

，
∴∠C₁AC=60°．
即AC₁与平面ABC所成的角为60°…（8分）