Question

如图，二次函数y=-mx 2 +4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在 x轴上，A、D在抛物线上，矩形AB

如图，二次函数y=-mx 2 +4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在 x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．（1）求二次函数的解析式；（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．（4）求出当x为何值时P有最大值？

Answer 1

（1）∵二次函数y=-mx 2 +4m的顶点坐标为（0，2）， ∴4m=2， 即m= 1 2 ，所以次抛物线的解析式为：y=- 1 2 x 2 +2． （2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上， ∴AD ∥ x轴， 又由抛物线关于y轴对称， 所以D、C点关于y轴分别与A、B对称． 所以AD的长为-2x，AB长为y， 所以周长p=2y-4x=2（- 1 2 x 2 +2）-4x=-（x+2） 2 +8． ∵A在x轴的负半轴上， ∴x＜0， ∵四边形ABCD为矩形， ∴y＞0， 即x＞-2． 所以p=-（x+2） 2 +8，其中-2＜x＜0． （3）不存在， 证明：假设存在这样的p，即： 9=-（x+2） 2 +8， 解此方程得：x无解，所以不存在这样的p． （4）由p=-（x+2） 2 +8，且-2＜x＜0． 故p没有最大值．