Question

请问n个服从一维正态分布的随机变量的线性组合依然都是服从正态分布吗?（注意这n个随机变量并不独立）

Answer 1

刚好学到这里，把前面相关的知识点汇总，加深理解：

1、两个相互独立的标准正态分布线性组合X+Y的服从正态分布证明：

2、推广到两个相互独立的正态分布线性组合X+Y服从正态分布，n个独立的正态分布的线性组合仍服从正态分布。

3、随机变量X的正态分布，两个参数μ，δ^2分别是该分布的数学期望和方差

4、证明“2、”的结论

5、根据你提的问题建立数学模型：

由1得：联合分布函数服从正态分布时，n个服从正态分布的随机变量可以不独立；由5得：当只有一个ai不等于零，n个服从正态分布的随机变量可以不独立。

6、由以上知识点得出结论：n个服从正态分布的随机变量的线性组合不一定服从正态分布。

Answer 2

答案是不一定，如果都服从的正态分布的话。书中那条性质就不会写成n个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。相互独立是服从正态分布的充分条件，但不是必要条件。书中就有相关系数不为零的二元正态分布（正态分布中不相关等价于独立）