Question

确定常数λ,使向量A(x,y)=(x∧4+ 4xy∧3)i+（6x∧（λ-1）y²-5y∧4）j

某个函数u（x,y）的梯度，并求出一个这样的函数u（x,y）

Answer 1

如果它是u(x,y)的梯度，则u'x = x^4 +4xy^3, u'y = 6x∧（λ-1）y²-5y∧4）
其中u'x表示u对x的偏导数
则由du'x/dy = du'y/dx 得到
12xy^2 = （λ-1）6x∧（λ-2）y²
所以λ=3
根据u'x = x^4 +4xy^3对x求积分得到
u(x,y) = x^5/5 +2x^2 y^3+C(y)
对上式求y的偏导数得到
u'y = 6x^2 y^2 +dC/dy = 6x^2 y^2 -5y^4
dC/dy = -5y^4
C=-y^5
所以u(x,y) = x^5/5 +2x^2 y^3-y^5