Question

如图抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴交于点C（0,3）与x轴交于A（－3,0）点B（1,0）两点

如图抛物线y＝ax²＋bx＋c与y轴交于点C（0,3）与x轴交于A（－3,0）点B（1,0）两点（1）直接写出抛物线的解析式。
（2）若点D为第二象限中抛物线上的点，且CD⊥AC，试求出点D的坐标。
（3）在（2）的条件下，连接AD，若点E在抛物线上EF⊥x轴于点F，以A，E，F为顶点的三角形与△ACD相似，求出所有满足条件的的点E的坐标。

Answer 1

(1) y = -x² - 2x + 3 = -(x + 3)(x - 1)

(2) AC的斜率为k = (3 - 0)/[0 - (-3)] = 1, CD的斜率k' = -1/k = -1, CD的方程为y = -x + 3
y = -x + 3 = -x² - 2x + 3

x² + x = x(x + 1)＝0
x = -1 (舍去x = 0, 此为点C)
D(-1, 4)

(3) AC = 3√2, CD = √2, 即△ACD两条直角边之比为3:1
令F(e, 0), E(e, -(e + 3)(e - 1))
EF = |(e+3)(e - 1)|, AF = |e - (-3)| = |e + 3|
EF/AF = |e - 1| = 3或|e - 1| = 1/3
共有四个解：e = -2: E(-2, 3)
e = 2/3, E(2/3, 11/9)
e = 4, E(4, -21)
e = 4/3, E(4/3, -13/9)