Question

二重积分 ∫∫|3x+4y|dxdy 其中D:x^2+y^2≤1

Answer 1

因为二重积分的积分区域为D:x^2+y^2≤1，是一个直径为1的圆的积分区域。

所以可以令一个积分区域为D1=｛(x,y)|x^2+y^2≤1，x>0,y>0｝,在积分区域D1中，x>0,y>0

所以二重积分 ∫∫|3x+4y|dxdy =4∫∫(3x+4y)dxdy，积分区域为D1=｛(x,y)|x^2+y^2≤1，x>0,y>0｝；

即∫∫|3x+4y|dxdy =12∫∫xdxdy+16∫∫ydxdy

其中∫∫xdxdy=∫xdx∫dy，此时的积分区域为0<x<1，0<y<√(1-x^2)；

化简得∫∫xdxdy=∫xdx∫dy=∫x√(1-x^2)dx=(-1/2)∫√(1-x^2)d(1-x^2)，此时积分区域为0<x<1；

计算得到∫∫xdxdy=1/3 。

因为∫∫xdxdy与∫∫ydxdy关于y=x曲线对称，同时积分区域都在第一象限，即∫∫xdxdy=∫∫ydxdy；

即∫∫ydxdy=1/3。

所以二重积分 ∫∫|3x+4y|dxdy =12*（1/3）+16*（1/3）=28/3 。

扩展资料：

二重积分所用到的计算性质

1、函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即是积分可加性

2、 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即是积分满足数乘

3、如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

4、设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得

参考资料来源：百度百科-二重积分

Answer 2

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