Question

线性代数，正定二次行的问题，

如下面图片所示，，第二张图片的答案中有一句话，矩阵a为正定矩阵，这句话不理解，题干中并没有给这个条件，为什么这个地方会说有这个条件呢！





Answer 1

这是因为BTAB是正定矩阵
可以得出A是正定矩阵（用反证法，可以证明，即假设存在非零向量x
使得，x^TAx<=0
不妨设x=By，显然y不等于0，则
(By)^TABy = y^TBTABy = y^T（BTAB）y<=0
这与BTAB正定矛盾！
）

追问

谢谢！您答得很好！
不过还有一个问题，就是书上说 A是正定矩阵，正是为了证明：B^TAB是正定矩阵。而您上面，是先假设，B^TAB是正定矩阵，然后证明了a是正定矩阵，所以按照书上的逻辑，此时，B^TAB是不是正定矩阵还不知道。本题的题干中，也没有说，B^TAB或者a是正定矩阵，所以此处仍感疑惑。