Question

导数压轴题求解

高三数学导数压轴

Answer 1

1、f'(x)=((a-1)-alnx)/x²＝-a/x²*[lnx-a/(a-1)]。令f'(x)=0，得x=e^((a-1)/a)。
所以当a＞0时，在(0,e^((a-1)/a))内f'(x)＞0，函数单调递增；在(e^((a-1)/a),+∞)内f'(x)＜0，函数单调递减。
当a＜0时，在(0,e^((a-1)/a))内f'(x)＜0，函数单调递减；在(e^((a-1)/a),+∞)内f'(x)＞0，函数单调递增。
2、函数有极大值x0，则a＞0且x0=e^((a-1)/a)，极大值f(x0)=a/e^((a-1)/a)。
要证明f(x0)=a/e^((a-1)/a)≥1，即a≥e^((a-1)/a)，取对数得lna≥(a-1)/a，即alna-a+1≥0。
令g(x)=xlnx-x+1，g'(x)＝lnx，当x＞e时g'(x)＞0，g(x)单调递增；当x＜e时g'(x)＜0，g(x)单调递减。所以g(x)在x=e处取得极小值g(e)=1，所以g(x)≥g(e)=1，所以xlnx-x+1≥0。
所以f(x0)=a/e^((a-1)/a)≥1。